薄的可行区域

我们现在考虑另一种可能导致意想不到结果的极端情况。考虑将问题定义为

$ < /美元跨度> \开始{数组}{lrrl} \马克斯vec {c} = & & y & \(0, 1) \ \酸处理& - x + y \ \ varepsilon leq……现代{2 \ cdot} = & (1 \ varepsilon) \ \ & - y \ leq 0 &现代{3 \ cdot} = &结束(0,1)\ \ \{数组} 美元$

以及它的图形表示

$\ scalebox {1.0} {\ includegraphics(宽度= 4){refman_misc / codedraw7.pdf}}$

从图形表示中可以清楚地看出，问题的最优解将在约束的交点处 $ 美元现代{1 \ cdot} 美元$ 与 $ 美元现代{2 \ cdot} 美元$ ；如果我们做代数运算，就会得到这个 $ x ^ * =美元(0 \压裂{1}{\ varepsilon}) 美元$ ．还要注意，当你减少 $ \ varepsilon美元美元 $ 可行域向上延伸，基部不变。我们将考虑这种情况 $ \ varepsilon美元美元 $ 是一个非常小的正数(介于 $ 10美元^ {9} 美元$ 和 $ 10美元^ {6} 美元$ ）.

如果我们扰动右边的向量 b 美元 从 美元(1,1) 美元来 $ < /美元跨度>(1 + \三角洲,1) 美元$ ，新的解决方案将是 $ < /美元跨度> \波浪号{x} ^ * =(- \压裂{\三角洲}{2}\压裂{2 + \三角洲}{2 \ varepsilon}) 美元$ ．为了评估这种扰动的影响，我们计算 < /美元跨度> l1 美元修正后的解与前一个解的距离为

$ < /美元跨度> \绿色x ^ * - \波浪号{x} ^ * \绿色_1 = \压裂{\三角洲绿色\ \绿色}{2}+ \压裂{\三角洲绿色\ \绿色}{\ varepsilon} 美元$

这个量可以很小，也可以很大，这取决于它们之间的相对大小 $ \三角洲美元美元 $ 和 $ \ varepsilon美元美元 $ ．如果 $ \三角洲美元美元 $ 比 $ \ varepsilon美元美元 $ ，那么这个量会很小。然而,如果 $ \三角洲美元美元 $ 大于或甚至是相同的数量级 $ \ varepsilon美元美元 $ 反之亦然。输入数据的非常小的扰动可以导致最优解的大变化。

如果我们不安，也会出现类似的问题 $ 美元现代{1 \ cdot} 美元$ 来 $ 美元(1 \δ) 美元$ ；新的最优解为 $ < /美元跨度> \波浪号{x} ^ * =(1 - \压裂{2 \ varepsilon} {\ varepsilon + \δ}\压裂{2}{\ varepsilon + \三角洲}) 美元$ ．但是现在,如果 $ < /美元跨度> \δ= \ varepsilon / 2 美元$ ，然后是新的解决方案 y 美元 将从 $ < /美元跨度> \压裂{1}{\ varepsilon} 美元$ 来 $ < /美元跨度> \压裂{4}{3 \ varepsilon} 美元$ (相对差异33%)。同样，输入的微小变化可以产生最优解的巨大变化。

是什么导致了这种不良行为?问题是最优点是由两个几乎平行的约束条件定义的。较小的 $ \ varepsilon美元美元 $ 是，它们越接近平行。当约束是如此接近平行时，斜率的微小变化可能导致它们交点的大移动。数学上来说:

$ < /美元跨度> \ lim_ {\ varepsilon \ rightarrow0 ^ +} \绿色x ^ * \绿色= \ infty 美元$

但是请注意，如果最初的问题有表单的附加变量边界 $ y \ leq 10美元^ 4美元 $ ，那么这两种不良行为都不可能发生。对于任何 $ \ varepsilon美元美元 $ 值小于 $ 10美元^ {4} 美元$ ，最优点将由新约束和其中一个约束定义 $ 美元现代{2 \ cdot} 美元$ 或 $ 美元现代{1 \ cdot} 美元$ ，这将再次导致一个行为良好(即稳定)的解决方案。总之，这类问题只会在可行域无界或非常大的情况下出现。看到扩展章节以进一步指导如何限定可行区域。