薄的可行区域

我们现在考虑另一种可能导致意外结果的极端情况。考虑定义为的问题

${displaymath} \ \开始开始{数组}{lrrl} \马克斯vec {c} = & & y & \(0, 1) \ \酸处理& - x + ... ... varepsilon) \ \ & - y \ leq 0 &现代{3 \ cdot} = &(0,1) \ \ \{数组}\ {displaymath}结束结束$

以及它的图形表示

从图形表示可以清楚地看出，该问题的最优解决方案将在约束的交点处 $ 美元现代{1 \ cdot} 美元$ 与 $ 美元现代{2 \ cdot} 美元$ ；如果我们做一下代数运算，就会得到这个 $ x ^ * =美元(0 \压裂{1}{\ varepsilon}) 美元$ ．也要注意，当你减少 $ \ varepsilon美元美元 $ 可行区域向上延伸，保持其基底不变。我们将考虑这种情况 $ \ varepsilon美元美元 $ 是一个非常小的正数(between $ 10美元^ {9} 美元$ 而且 $ 10美元^ {6} 美元$ ）.

如果我们扰动右边的向量从来 $ < /美元跨度>(1 + \三角洲,1) 美元$ ，新的解是 $ < /美元跨度> \波浪号{x} ^ * =(- \压裂{\三角洲}{2}\压裂{2 + \三角洲}{2 \ varepsilon}) 美元$ ．为了评估这种扰动的影响，我们计算这个修正解和之前解之间的距离，由

$\begin{displaymath}\Vert x^*-\tilde{x}^*\Vert _1 = \frac{\ Vert \delta\ Vert}{2}+\frac{\ Vert \delta\ Vert}{\varepsilon}\end{displaymath}$

这个量可以很小，也可以很大，取决于两者之间的相对大小 $ \三角洲美元美元 $ 而且 $ \ varepsilon美元美元 $ ．如果 $ \三角洲美元美元 $ 比 $ \ varepsilon美元美元 $ ，那么这个量就会很小。然而,如果 $ \三角洲美元美元 $ 是大于或甚至是相同数量级的 $ \ varepsilon美元美元 $ 反之亦然。输入数据中的非常小的扰动可以导致最优解的巨大变化。

如果我们捣乱，也会出现类似的问题 $ 美元现代{1 \ cdot} 美元$ 来 $ 美元(1 \δ) 美元$ ；新的最优解变成 $ < /美元跨度> \波浪号{x} ^ * =(1 - \压裂{2 \ varepsilon} {\ varepsilon + \δ}\压裂{2}{\ varepsilon + \三角洲}) 美元$ ．但是现在,如果 $ < /美元跨度> \δ= \ varepsilon / 2 美元$ 的新解将从 $ < /美元跨度> \压裂{1}{\ varepsilon} 美元$ 来 $ < /美元跨度> \压裂{4}{3 \ varepsilon} 美元$ (33%的相对差异)。同样，输入的微小变化可以导致最优解的巨大变化。

是什么导致了这种不良行为?问题是，最优点由两个几乎平行的约束条件定义。较小的 $ \ varepsilon美元美元 $ 是越接近于平行于are。当约束条件非常接近平行时，斜率的微小变化可能导致它们交点的大移动。数学上来说:

${displaymath} \ \开始lim_ {\ varepsilon \ rightarrow0 ^ +} \绿色x ^ * \绿色= \ infty \ {displaymath}结束$

但是请注意，如果原始问题有一个额外的变量绑定的形式 $ y \ leq 10美元^ 4美元 $ 那么这两种不良行为都不可能发生。对于任何 $ \ varepsilon美元美元 $ 值小于 $ 10美元^ {4} 美元$ ，最优点由新的约束条件和其中一个约束条件定义 $ 美元现代{2 \ cdot} 美元$ 或 $ 美元现代{1 \ cdot} 美元$ ，这将再次导致一个良好表现(即稳定)的解决方案。总之，这类问题只能在可行域无界或非常大的情况下出现。看到扩展节，以进一步指导确定可行区域的边界。