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线性系统案例

手机万博登录解决线性系统是任何MI(QC)P解析器中常见子程序,因为在完全执行算法期间我们必须解决多线性系统

考虑一下我们有线性系统span>$ </span>Ax=bspan>$ </span>独有解决办法<span>$</span>A<span>$</span>平方矩阵全级化),而你则想评价如果我们扰动右手侧,系统解决方案会如何改变<span>$</span>b<span>$</span>.系统有独特求解<span>$</span>b<span>$</span>解决之道<span>$</span>A^{-1}b<span>$</span>,并if we扰动<span>$</span>b<span>$</span>带<span>$</span>\varepsilon<span>$</span>解决之道 <span>$</span>A^{-1}(b+\varepsilon)<span>$</span>.量度相对改变解决方案相对输入变化为比

<span>$</span>\eta(b,\varepsilon):=\frac{\Vert A^{-1}b\Vert}{\Vert A^{-1}(b+\varepsilon)\Vert}/\frac{\Vert b\Vert}{\Vert b+\varepsilon\Vert}.<span>$</span>
注意上定义独立于 <span>$</span>b<span>$</span>并 <span>$</span>\varepsilon<span>$</span>.从那里 最差似然比结果
<span>$</span>\kappa(A):=\max_{b,\varepsilon}\eta(b,\varepsilon).<span>$</span>
量称矩阵条件号 <span>$</span>A<span>$</span>.证明这一点并非难事
<span>$</span>\kappa(A)=\frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}},<span>$</span>
去哪儿 <span>$</span>\lambda_{\max}<span>$</span>并 <span>$</span>\lambda_{\min}<span>$</span>最大值和最小值 <span>$</span>A<span>$</span>.等价
<span>$</span>\kappa(A)={\Vert A\Vert}{\Vert A^{-1}\Vert}.<span>$</span>
常见解释 <span>$</span>\kappa(A)=10^k<span>$</span>解决系统 span>$ </span>Ax=bspan>$ </span>,你可能会输 <span>$</span>k<span>$</span>精度位数 <span>$</span>x<span>$</span>取精度 <span>$</span>b<span>$</span>.

条件号最优简单基础KappaExact属性大块头<span>$</span>\kappa<span>$</span>传值强点表示结果可能不稳定

果真如此,最优建议是缩放约束矩阵系数,从而使由此产生的系数范围小化。变换通常会减少<span>$</span>\kappa<span>$</span>定值基础请求参考比例化一节讨论如何重标, 并提醒一般缩放

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