线性优化问题的几何性质

在展示表现出不良行为的优化模型之前，我们首先需要了解几何在他们后面。考虑表单的一个问题

$ < /美元跨度> \开始{数组}{你}\马克斯和残雪\ \酸处理和Ax \ leq b。\ \ \{数组} 美元$

例如:

$ < /美元跨度> \开始{数组}{lrrl} \马克斯& vec {c} = x + y & \ &(1, 1) \ \酸处理& 0 &现代{1 - x \ leq \ cd……3 \ \ leq 0 &现代{cdot} = & (0, 1) \ \ & y \ leq 1 &现代{4 \ cdot} = &(0, 1)。结束\ \ \{数组} 美元$

注意，如果我们表示

< span > < /美元跨度> b ^ t: = (0, 1, 0, 1) < span > < / span >美元

，则问题可以表述为

$ < /美元跨度> \ max_ {x \ \ mathbb {R} ^ 2} \ {vec {c} x: \ Ax \ leq b \}。 美元$

可行区域，改进方向 $ < /美元跨度> vec {c} \ 美元$ ，最优解 < /美元跨度> x ^ * 美元

可以描述为

$\ scalebox {1.0} {\ includegraphics(宽度= 4){refman_misc / codedraw3.pdf}}$

注意，每当我们朝。的方向移动 $ < /美元跨度> vec {c} \ 美元$ ,该值 $ < /美元跨度> vec {c} \ x 美元$ 增加。再者，既然我们不能从 < /美元跨度> x ^ * 美元

对于另一个客观值较好的可行点，我们可以得出 < /美元跨度> x ^ * 美元

确实是这个问题的最佳解决方案。请注意, < /美元跨度> x ^ * 美元

是一个角落里可行域的点。这不是巧合;如果可行域是有界的，你总能在角点处找到一个最优解 $ < /美元跨度> vec {c} \ 美元$ 不为零。如果目标为零，则所有可行解都是最优解;我们稍后将更多地讨论零目标及其影响。

为了理解输入数据的变化如何影响可行域和最优解，考虑一个小的修改: $ < /美元跨度> \波浪号{b} ^ t = (\ varepsilon 1 0 1) 美元$ ， $ < /美元跨度> \波浪号vec {c}} {\ = (1 + \ varepsilon, 1) 美元$ , $ < /美元跨度> \波浪号{现代{4 \ cdot}} = (\ varepsilon, 1) 美元$ ．那么我们的优化问题是这样的

$\ scalebox {1.0} {\ includegraphics(宽度= 4){refman_misc / codedraw4.pdf}}$

注意，虽然我们改变了右边，但这一改变对问题的最优解没有影响，但它通过扩大可行区域的底部改变了可行区域。

改变目标向量会使图形表示中的相应向量倾斜。这当然也会改变最优的目标值。对约束进行扰动会使约束的图形表示发生倾斜。的变化 $ 美元现代{4 \ cdot} 美元$ 改变原始解决方案本身。的数量倾斜所受的约束取决于扰动的相对值。例如，虽然约束 $ x \ leq 1美元美元 $ 和约束条件 $$100 x \leq 100$$ 推导出相同的可行域，摄动 $$x + \varepsilon y\leq 1$$ 会引起更多的倾斜比扰动 $$100 x + \varepsilon y \leq 100$$ ．